Un nuevo trabajo propone resolver una antigua pregunta sobre trayectorias que se repiten en mesas con forma de polígono.
El billar matemático reduce el juego a una idea limpia: una bola avanza en línea recta dentro de una mesa con forma de polígono y rebota en los lados mediante una reflexión perfecta. Solo cuentan la forma de la mesa y la dirección inicial.
El problema de la órbita periódica pregunta si, en toda mesa poligonal, existe una posición y una dirección que hagan volver la bola al punto de partida. Después, la trayectoria se repetiría una y otra vez. La imagen es sencilla, pero la pregunta ha resistido durante mucho tiempo.
Sus variantes se remontan al siglo XVIII y forman parte de los sistemas dinámicos, que estudian la evolución del movimiento. En 2004 fue señalada como una de las cuestiones más resistentes del área. Su atractivo está en unir un dibujo fácil de imaginar con una maquinaria matemática abstracta.
El avance clásico llegó hace aproximadamente medio siglo. Entonces se probó que las órbitas periódicas existen cuando los ángulos del polígono son múltiplos racionales de pi. Esa condición ordenaba muchos casos, pero dejaba fuera los polígonos con ángulos irracionales.
Giovanni Forni, matemático de la Universidad de Maryland, ha propuesto una demostración que pretende cubrir todos los polígonos. El argumento funciona por contradicción: imagina una mesa sin órbitas periódicas y convierte sus trayectorias en un objeto geométrico. Según la prueba, ese objeto debería tener a la vez infinitos lazos y una cantidad finita de ellos, algo incompatible.
Por ahora, el trabajo está en arXiv y debe ser examinado por otros especialistas. Incluso si se acepta, el resultado sería existencial: afirma que la trayectoria está en algún lugar, pero no da un método para localizarla.
Basado en: Sam Macdonald, Scientific American