Un nuevo trabajo propone resolver una antigua pregunta sobre trayectorias que se repiten en mesas con forma de polígono.
En matemáticas, una mesa de billar puede tener muchas formas. No tiene que ser rectangular. Puede ser un polígono, es decir, una figura con varios lados. En esa mesa imaginaria, una bola avanza en línea recta. Cuando toca una pared, rebota de manera perfecta.
La pregunta parece fácil: ¿puede la bola volver al punto de salida y hacer otra vez el mismo camino? Si eso ocurre, la bola repite siempre los mismos rebotes. Los matemáticos llaman a ese camino una órbita periódica.
El problema existe desde hace mucho tiempo. Algunas ideas ya aparecían en el siglo XVIII. En 2004 entró en una lista de problemas muy difíciles de los sistemas dinámicos. Esta parte de las matemáticas estudia el movimiento y los cambios. Por eso una mesa de billar puede decir mucho sobre trayectorias.
Hace unos 50 años hubo un avance importante. Se probó que esos caminos existen en algunos polígonos especiales. En ellos, los ángulos tienen una relación racional con pi. Dicho de forma sencilla, eran casos más ordenados. Pero quedaban otros polígonos más difíciles, con ángulos llamados irracionales.
Giovanni Forni, matemático de la Universidad de Maryland, cree que ha encontrado una solución general. Su prueba empieza imaginando una mesa sin ningún camino de vuelta. Después usa ideas de varias ramas de las matemáticas para mostrar que esa mesa llevaría a una contradicción.
El trabajo todavía está en arXiv y no ha pasado por revisión por pares. Si la prueba es correcta, solo dice que el camino existe. No explica dónde poner la bola ni hacia dónde lanzarla.
Basado en: Sam Macdonald, Scientific American