Un nuevo trabajo propone resolver una antigua pregunta sobre trayectorias que se repiten en mesas con forma de polígono.
Una mesa de billar matemática no tiene por qué parecerse a una mesa normal. Puede tener cualquier forma de polígono. En este modelo, la bola se mueve en línea recta y rebota en cada pared con una reflexión perfecta, sin perder fuerza ni desviarse por rozamiento.
La cuestión es si toda mesa de este tipo tiene al menos una trayectoria especial. La bola saldría de un punto, tocaría varios lados, volvería al inicio y repetiría siempre la misma ruta. A ese recorrido se le llama órbita periódica.
La pregunta no es nueva. Variantes del problema circulan desde el siglo XVIII y siguen interesando a los sistemas dinámicos, el campo que estudia cómo cambian los movimientos con el tiempo. En 2004 fue incluida entre varios problemas especialmente difíciles de esa área.
Durante décadas se conoció solo una parte de la respuesta. Hace unos 50 años se demostró que la órbita existe cuando los ángulos del polígono son múltiplos racionales de pi. Ese resultado cubría muchos polígonos, pero no todos. Los casos con ángulos irracionales seguían abiertos.
Giovanni Forni, de la Universidad de Maryland, ha presentado una prueba que intenta cerrar esa parte pendiente. Su razonamiento empieza suponiendo lo contrario: que existe un polígono sin ninguna trayectoria periódica. Luego traduce ese movimiento a un objeto geométrico y obtiene una contradicción: tendría que tener infinitos agujeros y, al mismo tiempo, solo un número finito.
La propuesta aún no es definitiva, porque está disponible como prepublicación en arXiv y falta la revisión por pares. Además, aunque se confirme, no será una receta práctica: garantiza que existen un punto de salida y una dirección, pero no dice cómo encontrarlos.
Basado en: Sam Macdonald, Scientific American